作品名稱：數學
學校名稱：獲嘉縣職業中等專業學校
參賽隊伍：獲嘉縣職業中等專業學校
參賽老師：尚晶晶
函數的奇偶性
【學習目標】
1.理解函數的奇偶性定義；
2.會利用圖象和定義判斷函數的奇偶性；
3.掌握利用函數性質在解決有關綜合問題方面的應用.
【要點梳理】
要點一、函數的奇偶性概念及判斷步驟
1．函數奇偶性的概念
偶函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數.
奇函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數.
要點詮釋：
（1）奇偶性是整體性質；
（2）x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數，其定義域必定是關于原點對稱的；
（3）f(-x)=f(x)的等價形式為：f(-x)-f(x)=0，
f(-x)=-f(x)的等價形式為：f(-x)+f(x)=0；
（4）由定義不難得出若一個函數是奇函數且在原點有定義，則必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函數又是偶函數，則必有f(x)=0.
2.奇偶函數的圖象與性質
（1）如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.
（2）如果一個函數為偶函數，則它的圖象關于y軸對稱；反之，如果一個函數的圖像關于y軸對稱，則這個函數是偶函數.
3.用定義判斷函數奇偶性的步驟
（1）求函數f(x)的定義域，判斷函數的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則該函數既不是奇函數，也不是偶函數，若關于原點對稱，則進行下一步；
（2）結合函數f(x)的定義域，化簡函數f(x)的解析式；
（3）求f(-x)，可根據f(-x)與f(x)之間的關系，判斷函數f(x)的奇偶性.
若f(-x)=-f(x)，則f(x)是奇函數；
若f(-x)=f(x)，則f(x)是偶函數；
若f(-x)和f(x)既不相等又不相反，則f(x)既不是奇函數，也不是偶函數；
若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，則f(x)既是奇函數，又是偶函數
要點二、判斷函數奇偶性的常用方法
（1）定義法：若函數的定義域不是關于原點對稱，則立即可判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數；若函數的定義域是關于原點對稱的，再判斷f(x)與f(-x)是否相等.
（2）圖象法：奇（偶）函數等價于它的圖象關于原點（y軸）對稱.
（3）性質法：兩個奇函數的和仍為奇函數；兩個偶函數的和仍為偶函數；兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的積是偶函數；一個奇函數與一個偶函數的積是奇函數.
（4）分段函數奇偶性的判斷
判斷分段函數的奇偶性時，通常利用定義法判斷.在函數定義域內，對自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系，這樣的函數叫做分段函數.分段函數不是幾個函數，而是一個函數.因此其判斷方法也是先考查函數的定義域是否關于原點對稱，然后判斷f(x)與f(-x)的關系.首先要特別注意x與-x的范圍，然后將它代入相應段的函數表達式中，f(x)與f(-x)對應不同的表達式，而它們的結果按奇偶函數的定義進行比較.
